一、基础不定积分的
让我们从最基本的不定积分开始。
1. 基本积分公式：
∫eˣdx 的结果是 eˣ + C，这是基础的积分公式之一。还有其他两个例子：∫(3-2x)^(3/2)dx = -1/5 (3-2x)^(5/2) + C 以及 ∫x cos(x²)dx = 1/2 sin(x²) + C。这些公式是构建更复杂积分的基础。
2. 换元法的巧妙应用：
有些积分可以通过换元法简化，比如 ∫1/(√x + √x)dx 可以化简为 √x + C。另一个例子是 ∫√(4-x²)/x² dx，通过三角换元x=2sinθ，可以转化为-√(4-x²)/x arcsin(x/2) + C。
3. 分部积分的奥秘：
分部积分法也是求解不定积分的一种重要方法。例如，∫x sinx dx 可以转化为 -x cosx + sinx + C。另一个例子是 ∫ln(1+x²)dx，通过分部积分，我们可以得到 x ln(1+x²) + 2arctanx + C。
二、进阶不定积分的挑战
当我们掌握了基础的不定积分后，可以开始挑战更进阶的题目。
1. 三角与指数的交融：
这类题目将三角函数与指数函数结合在一起，比如 ∫sin²x/cos³x dx = 1/2 (secx tanx ln|secx + tanx|) + C，还有 ∫e^√(3x+9) dx = 2/3 e^√(3x+9) (√(3x+9) -1) + C。
2. 有理函数的：
对于有理函数的积分，我们需要更细致的处理。例如，∫1/(x(x⁶+4))dx = 1/4 ln|x| + 1/24 ln(x⁶+4) + C，以及 ∫1/((2x²+1)√(x²+1)) dx = arctan(x/√(x²+1)) + C。
三、综合练习的乐趣
为了更全面地提高不定积分的能力，我们可以进行一些综合练习。
1. 经典题型100题测试：
这些题目涵盖了换元法、分部积分法、三角代换等多种技巧。例如，∫x³ eˣ² dx = 1/2 eˣ² (x² -1) + C 和 ∫1/(x ln²x) dx = -1/lnx + C 是其中的两道典型题目。
2. 区间再现技巧：
有些题目需要利用函数的对称性来解决，比如 ∫(sinx/(1+cos²x)) dx = -arctan(cosx) + C。
想要提高不定积分的技巧，除了上述的例题，还可以参考微积分教材或专项练习集，进行更深入的研究和学习。每一道题目都是一次挑战，也是一次成长的机会。希望你在学习的道路上越走越远！
