一、核心公式类型及其示例
1. 平方差公式
公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
示例：通过公式，我们可以轻松地将 $9x^2 - 16$ 分解为 $(3x+4)(3x-4)$。
2. 完全平方公式
公式：$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
示例：考虑表达式 $x^2 + 6x + 9$，利用此公式，我们可以将其转化为简洁的 $(x+3)^2$。
3. 立方和/差公式
立方和公式：$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
立方差公式：$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
示例：对于表达式 $8x^3 + 27y^6$，我们可以使用立方和公式将其分解为 $(2x+3y^2)(4x^2 - 6xy^2 + 9y^4)$。
4. 二次三项式分解
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的多项式，可以尝试通过系数配凑分解为 $(px+q)(rx+s)$ 的形式。
示例：考虑多项式 $x^2 + 5x + 6$，它可以分解为 $(x+2)(x+3)$。
二、操作步骤简述
1. 观察多项式形式，判断其是否满足上述公式的结构特征。
2. 根据项数、符号和系数选择合适的公式。
3. 若直接应用公式有困难，尝试变形或提取公因式后再进行分解。
三、应用时的注意事项
优先提取公因式
若多项式存在公共因子，建议先提取后再应用公式法进行分解。
彻底分解
确保每个因式在指定数集内不可再分。
组合方法
公式法常与分组分解法结合使用。例如，在对多项式 $4x(y-x) - y^2$ 进行分解时，可以先展开为 $4xy - 4x^2 - y^2$，然后重组并结合完全平方公式得 $- (2x - y)^2$。这种组合应用可以使分解过程更加简洁明了。
