在一个平面内，设有一个三角形ABC，为了寻找它的外接圆，我们首先分别在AB和AC边上作两条垂直平分线，这两条平分线相交于一点O。以O为圆心，OA为半径画出一个圆，我们称之为圆1。这个圆就是三角形ABC的外接圆。
接着，从B点出发，我们画一条过圆心O的直线，让它与圆1相交于一点D。连接BD，这条线段就是圆1的直径。圆1的半径r就是BD的一半。
现在，我们注意到线段AD构成了一个直角三角形ABD。这是因为直径所对的圆周角是90度，所以∠BAD是一个直角。在三角形ABD中，我们可以根据三角函数的定义得到sin∠ADB = AB/BD。
这里AB是圆周角ADB与圆周角ACB的共用弦，根据几何学中的定理，同弦所对的圆周角是相等的，所以∠ADB = ∠ACB。由此我们可以得到sin∠ACB = AB/BD。利用这个等式，我们可以推导出BD = ab/sin∠ACB。由于圆1的直径是BD的两倍，所以我们可以得出公式：2r = ab/sin∠ACB，进而得到r = ab/2sin∠ACB。
这个推导过程展示了如何通过几何图形和三角函数来求解一个三角形的外接圆半径。这个过程不仅展示了数学的严谨性，也体现了数学在实际问题中的广泛应用。通过这个过程，我们可以深入理解几何与三角函数之间的联系，以及它们在解决实际问题中的作用。
