一、构造法推导
关于立方和的公式推导，首先我们通过二项式定理展开$(a + b)^3$，得到：
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
接着，为了分离立方和项，我们从等式两边减去$3ab(a + b)$，得到：
$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
进一步，我们提取公因子$(a + b)$，得到：
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
这就是通过构造法得到的立方和公式。
二、系数匹配法推导
在系数匹配法中，我们首先假设$a^3 + b^3$可分解为$(a + b)(Aa^2 + Bab + Cb^2)$的形式，其中$A, B, C$为待定系数。
接着，我们展开并合并同类项，得到：
$(a + b)(Aa^2 + Bab + Cb^2) = Aa^3 + (A + B)a^2b + (B + C)ab^2 + Cb^3$
通过与原式$a^3 + b^3$对比，我们可以确定：$A = 1$，$C = 1$，$A + B = 0$（即$B = -1$），以及$B + C = 0$（验证后成立）。
代入系数，我们得到分解式：
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
示例验证
为了验证上述公式，我们可以展开乘积$(a + b)(a^2 - ab + b^2)$：
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot (-ab) + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot (-ab) + b \cdot b^2 $
$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 $
$= a^3 + b^3$
两种方法均验证了立方和公式的因式分解形式的正确性。
