推导点 \(P(x_0, y_0)\) 到直线 \(Ax + By + C = 0\) 的距离公式的旅程，仿佛是一场深入数学世界的。让我们一步步揭开这个公式的神秘面纱。
我们要理解直线的特性。这条直线的背后，隐藏着一种被称为法向量的神秘力量，它的表示方式是 \((A, B)\)。这个法向量，是直线的一个重要属性，它垂直于直线并指向直线的“正面”。
接下来，我们引入向量投影的概念。设想直线上有一点 \(Q(x_1, y_1)\)，满足直线方程 \(Ax_1 + By_1 + C = 0\)。然后，有一个向量 \(\overrightarrow{QP}\)，它从点 \(Q\) 指向点 \(P(x_0, y_0)\)。点 \(P\) 到直线的距离，其实就是这个向量在法向量方向上的投影长度。
为了计算这个投影长度，我们需要使用点积的计算方法。向量 \(\overrightarrow{QP}\) 与法向量 \((A, B)\) 的点积为 \(A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1)\)。由于我们知道 \(Ax_1 + By_1 = -C\)，所以我们可以简化这个表达式为 \(Ax_0 + By_0 + C\)。
然后，为了得到投影的长度，我们需要计算这个表达式的绝对值，并除以法向量的长度，也就是 \(\sqrt{A^2 + B^2}\)。这样，我们得到了投影长度的公式：\(\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)。
为了验证这个公式，我们可以通过联立直线方程和垂线方程来求解交点，然后计算交点与点 \(P\) 的距离。你会发现，这个结果与我们刚刚推导的公式结果是一致的。
最终我们得到了点 \(P(x_0, y_0)\) 到直线 \(Ax + By + C = 0\) 的距离公式：\(\boxed{\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}\)。这个公式是数学中的一颗璀璨明珠，它连接了直线与点之间的距离关系，展示了数学的奇妙与和谐。
